\section{Ejercicio N 2}

Un establecimiento de reparaciones, atendido por un solo operario, recibe un promedio de cuatro clientes por hora, los cuales traen pequeños aparatos a reparar. El mecánico los inspecciona para encontrar los defectos y muy a menudo puede arreglarlos de inmediato, o de otro modo emitir un diagnóstico. En promedio, todo le toma 6 minutos por aparato. Los arribos tienen una distribución Poisson y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial. Calcular:

\begin{enumerate}
  \item La probabilidad de que el taller esté vacío.
  \item La probabilidad de que tres clientes estén en el taller.
  \item La probabilidad de encontrar por lo menos un cliente en el taller.
  \item El número promedio de clientes en el taller.
  \item El tiempo promedio que un cliente debe permanecer en el taller.
  \item El número promedio de clientes que esperan ser atendidos.
  \item El tiempo promedio que un cliente debe esperar para ser atendido.
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $ \lambda = 4\: \,  \frac{aparato}{hora} $ (distribución Poisson)
  \item $T_{s}  = 6\: \,  \frac{minuto}{aparato} \Rightarrow \mu = 10 \: \,  \frac{aparato}{hora}$ (distribución exponencial)
\end{itemize}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $P(n=0)$
  \item $P(n=3)$
  \item $P(n\geq1)$
  \item $L$
  \item $W$
  \item $L_{c}$
  \item $W_{c}$
\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tienen distribución Poisson
  \item El sistema tiene un único canal de atención
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es infinita
  \item Se forma una única cola frente al canal
  \item Los clientes no presentan el fenómeno de impaciencia
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
\end{enumerate}

En conclusión, es un PP1.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{ejercicio02}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 2}
  \end{center}
\end{figure}

\comandoResolucion

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]

\item El modelo es un P/P/1 por eso sabemos que la P(0) es:

\[P(n=0)= 1 - \rho \]

Entonces:

\[P(n=0) = 1 - \frac{4\: \,   \frac{aparato}{hora}}{10\: \,   \frac{aparato}{hora}}  \]

\[ \boxed{P(n=0) = \frac{3}{5} = 0,6}  \]

\item La probabilidad de n en un P/P/1 es:

\[P(n) = \rho^3 * P(0) \] 

Entonces:

\[P(3) = \left(\frac{4}{10}\right)^3 * \frac{3}{5}\]

\[ \boxed{ P(3) = \frac{24}{625} = 0,0384}\]

\item La probabilidad de que halla al menos un cliente es:

\[P(n\geq1) = \sum_{i=1}^{n}\rho^n*P(0) = 1 - P(0) = 1 - (1 - \rho) = \rho = \frac{2}{5} \]

\[ \boxed{ P(n\geq1) = \frac{2}{5} = 0,4} \]

\item Como es un P/P/1, vale:

\[ L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{4 \: \,   \frac{aparato}{hora}}{10\: \,   \frac{aparato}{hora} - 4\: \,   \frac{aparato}{hora}} = \frac{4\: \,   \frac{aparato}{hora}}{6\: \,   \frac{aparato}{hora}} = \frac{2}{3} \: \,   (aparato)\]

\[ \boxed{L = \frac{2}{3} \: \,   (aparato) \approx 0,67  \: \,   (aparato)} \]

\item Como es un P/P/1, vale:

\[ W = \frac{1}{\mu - \lambda} = \frac{1 \: \,   \frac{aparato}{hora} }{10\: \,   \frac{aparato}{hora}-4\: \,   \frac{aparato}{hora}} = \frac{1}{6}\: \,   \frac{aparato}{hora} \]

\[ \boxed{ W  = \frac{1}{6}\: \,   \frac{hora}{aparato} \approx 0,17\: \,   \frac{hora}{aparato}} \]

\item Como es un P/P/1, vale:

\[ L_c = \frac{\lambda^2}{\mu*(\mu - \lambda)} = \frac{(4\: \,   \frac{aparato}{hora})^2}{10\: \,   \frac{aparato}{hora}*(10\: \,   \frac{aparato}{hora} - 4\: \,   \frac{aparato}{hora})} = \frac{16}{60} \: \,   (aparato)= \frac{4}{15} \: \,   (aparato)\]

\[ \boxed{L_c = \frac{4}{15}\: \,   (aparato) \approx 0,27 \: \,   (aparato) } \]

\item Como es un P/P/1, vale:

\[W_c = \frac{\lambda}{\mu*(\mu-\lambda)} = \frac{4\: \,   \frac{aparato}{hora}}{60\: \,   \frac{aparato^2}{hora^2}} = \frac{1}{15}\: \,   \frac{hora}{aparato} \]

\[ \boxed{W_c = \frac{1}{15}\: \,   \frac{hora}{aparato} \approx 0,07 \: \,   \frac{hora}{aparato} } \]
\end{enumerate}
